NHK番組「オックスフォード白熱教室」(全4回)の感想です。
（※以下、今回の話の結末まで書いてありますのでご注意ください）
■NHK オックスフォード白熱教室
http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/oxford/index.html
NHK Eテレでの視聴です（放送：毎週金曜 23:00〜23:54)(2014年12月5日〜12月26日)
※2013年10月4日〜25日の再放送
■概要
＞英語圏では最古の大学として、９００年以上の歴史と伝統を持つイギリス・オックスフォード大学。
＞世界大学ランキングでは常にトップレベルの名門校である。
＞現職のキャメロン首相や、サッチャー元首相など、イギリス歴代２６人の首相を輩出。
＞２７人のノーベル賞受賞者をはじめ、文学や科学など様々なジャンルで卒業生は歴史に名を残してきた。＞この大学で現在、最も有名な人物の一人が、マーカス・デュ・ソートイ教授。
＞トップクラスの現役数学者でありながら、「数学の本当の姿を知ってもらいたい」と、一般市民に向けて数学の魅力を広める活動に力を入れている。
＞数学は掛け算を解いたり、割合を計算するためのものではない。
＞デュ・ソートイ教授の講義は、自然や音楽など身近な切り口から、数学の本質を解き明かしていく。＞今回は番組のために用意した全４回の特別講義で、数学の美しく神秘的な世界を紹介する。
＞世紀の難問「リーマン予想」や、現代数学において極めて重要な「群論」など毎回、難解なテーマも登場するが、デュ・ソートイ教授が軽快な語り口で理解へと導く。
＞私たちの日常生活と最先端の数学が無縁ではないことを実感できるはず。
第２回 シンメトリーのモンスターを追え（初回放送：2013年10月11日（金））
■内容
＞花や結晶の形など、自然界のいたるところで目にする、バランスのとれた美しさの象徴、「シンメトリー(対称性)」。１９世紀の天才数学者エヴァリスト・ガロアはこのシンメトリーが、私たちの世界を解き明かす「数学の言語」であることを発見した。
＞アルハンブラ宮殿を彩る美しいシンメトリーの模様を例に、「形」を「数字」に置き換える画期的な発想を解説。
＞現代数学において極めて重要な「シンメトリー」の秘密を追い求めた数学者たちの探求と、謎に満ち溢れたその不思議な世界を紹介する。
シンメトリー（対称性）とは何か。１９世紀の天才数学者で２０歳で決闘で死んだエヴァリスト・ガロアはシンメトリーの問題に取り組み「群論」というジャンルを作り上げた。
シンメトリーとは「物を動かした時、最初と同じように見える動かし方」とする。例えば、回転ノコギリ的な六個のぎざぎざを持つヒトデ型を考える。これを1/6ずつ右回転させても、元と同じ形に見える（＝回転シンメトリー）。シンメトリーの個数は、1/6〜5/6回転させる５個と、「持ち上げてそのまま回転させずに置いた」という0/6回転、の合計６個ある。ただし、裏返すことは出来ない。形が逆になってしまうからだ。では正三角形は？ 「回転シンメトリー」が右回転1/3と左回転1/3、さらに各頂点をそのままでひっくり返す「鏡映シンメトリー」で３個、さらに「持ち上げてそのまま落とすだけ」の１個、で、合計６個だ。
では、６個のシンメトリーを持つ同士なら、ヒトデ型も正三角形も同じシンメトリーを持つ、といえるだろうか？ シンメトリーは足し算できる。例えばノコギリ型で「最初に1/6回転、続いて1/3回転」させると結局「合計1/2回転」となる。これを「最初に1/3回転、続いて1/6回転」としても「合計1/2回転」という結果に変わりはない。
ところが正三角形では「最初に1/3回転させ、つづいて頂点Xをそのままにひっくり返す」のと「最初に頂点Xをそのままにひっくり返し、つづいて1/3回転させる」のとでは頂点の位置が異なる。つまり動かす順番が違うと別の結果になってしまう。この二つは別の種類なのだ。またガロアは６個のシンメトリーを持つのは正三角形とヒトデ型６角形のみと証明した。ガロアはシンメトリーを区別する方法を編み出した。
ガロアはシンメトリーを原子のように細かくできることを見つけた。例えば正１５角形のシンメトリーは、その中におさまる正五角形と正三角形であらわせる。例えば1/15回転は、正五角形を2/5回転した後、正三角形を逆に1/3回転させればよい。シンメトリーは素数のように分解できる。
1980年代になって、数学者はシンメトリーの元素周期表的な基礎単位の一覧を完成させた。その中には「19万6883次元」のシンメトリー（通称モンスター）もある。これはそれ以下の素数的な物に分解できないことが証明されている。しかしそんなものをどうやって扱うのか。それは座標によって扱える。例えば四角形は「0,0」「0,1」「1,0」「1,1」という４つの座標で表現できる。立方体なら「0,0,0」から「1,1,1」までの八個の座標。そして『四次元の物体』でも「0,0,0,0」から「1,1,1,1」までの１６個の座標で表せる。数学を使えば図にかけないようなものも扱うことができるのだ。
唐突な「19万6883」という数字に何か意味は有るのか？ 実はあるらしい。「モジュラー関数」という全く別の数学にこの数字が出てくるからだ。ある学者はこの関係を「ムーンシャイン」と呼び、その背後には両者を照らす隠された太陽のようなものがあると考えている。
■感想
前回の素数回に比べると、数学そのものより「ガロアとか自分についてのトーク」の割合が高く、ちょっと密度が低かった気がしますが、話としては面白い。ガロアと来ると必ず群論ですが、群論とは？ということには「高度な数学である」以上の説明を見たことがありません（まあ素人には説明不可能なくらい難解なんだろうけど）。ということで、さわり程度でも教えてくれて嬉しかったです。
