【数学】感想:NHK番組「笑わない数学」第2回「無限」(2022年7月20日(水)放送)

「無限」に魅入られた天才数学者たち (ハヤカワ文庫NF)

笑わない数学 NHK https://www.nhk.jp/p/ts/Y5R676NK92/
放送 NHK総合。全12回。

www.nhk.jp
【※以下ネタバレ】
 

https://www.nhk.jp/p/ts/Y5R676NK92/
パンサー尾形貴弘が難解な数学の世界を大真面目に解説する異色の知的エンターテインメント番組! 「リーマン予想」「フェルマーの最終定理」「連続体仮説」「四色問題」「ガロア理論」「abc予想」「確率論」「P対NP問題」「カオス理論」「ポアンカレ予想」「暗号理論」「虚数」・・・。天才数学者をも苦しめてきた数々の難問、そして美しくも不思議な知の世界を、1回30分ワンテーマ、ギャグ封印で、トコトン分かりやすく掘り下げる!


MC 尾形貴弘 (パンサー)

 

第2回「無限」(2022年7月20日(水)放送)

 

内容

笑わない数学「無限」
[総合] 2022年07月20日 午後11:00 ~ 午後11:30 (30分)


パンサー尾形貴弘が数学の難問を大真面目に解説する「笑わない数学」。今回のテーマは「無限」。どこまで行っても終わりがない「神の領域」に挑んだ、ある数学者の物語。


1,2,3,4,5…と無限に続く「自然数」。2,4,6,8,10…とこちらも無限に続く「偶数」。もし、それぞれの「個数」をすべて数え上げることができたとしたら、どちらの方が大きいだろうか?「有理数」なら?「実数」なら? 考えれば考えるほど、迷宮に迷い込み、“人知を超えた領域“と言われた「無限」の世界に、たった1人で踏み入った天才数学者の物語。「自由の精神」を武器に戦いを挑み、たどり着いた先とは…。

【司会】パンサー尾形

 
自然数と偶数はどちらが多い?

 自然数(1,2,3、……)は無限に続くが、もしその個数を数えたとして仮に個数を「∞自」(むげん・し)とする。また偶数(2,4,6、……)も同様に個数を「∞ぐ」(むげん・ぐ)とする。この二つはどちらが大きいだろうか? 普通に考えると「∞自」は「∞ぐ」の二倍あるように思えるが……


 もしリンゴとミカンの山が目の前にあり、どちらが多いか確かめるにはどうすれば良いか? リンゴとミカンの一対ずつの組を作っていけば良い。もしリンゴが無くなってもまだミカンが残っていれば、ミカンの方が数が多いと解る。


 これと同じ手順で「∞自」と「∞ぐ」を比較すると、

「∞自」[1]-「∞ぐ」[2]
「∞自」[2]-「∞ぐ」[4]
「∞自」[3]-「∞ぐ」[6]
「∞自」[4]-「∞ぐ」[8]
「∞自」[5]-「∞ぐ」[10]
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 ・

 といくらでも組が作れる。つまり「∞自」と「∞ぐ」は同じ個数なのである。同じ理屈で、奇数の個数「∞き」(むげん・き)も「∞自」と同じ。「∞き」プラス「∞ぐ」イコール「∞自」という事にならない……



●矢が無限の時間をかけないと命中しない?

 古代ギリシャの哲学者ゼノンは、矢を射って的に命中するときのことをこう考えた。

1)矢はまず射手から目標までの距離の1/2の点を通過しないといけない。
2)次に目標までの1/4の点を通過しないといけない
3)次に目標までの1/8の点を通過しないといけない
4)次に目標までの1/16の点を通過しないといけない
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 ・
となり、矢は命中までに無限に存在する点を全て通過しないといけない。結論「矢はいつまで経っても的に命中しない」……



●無限について考えた数学者カントール

 数学者ゲオルグカントール(1845-1918)は無限について研究した数学者。

 既に「∞き」イコール「∞ぐ」イコール「∞自」と解っているが、では「∞自」と有理数(分数で表せる数字)の個数「∞有」とはどっちが多いのだろうか? 

 確かめるために、先に使った「一対一の組を作る」という手法を使うとして、「∞自」[1]と有理数の何を組み合わせればいいのか? 1/10? 1/100? 1/100000? そもそもどうやって組を作ればいいのか解らない……

 カントールは以下の手法を考えた。まず、分母が1で分子が1,2,3と増えていく列を作る。
1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、、……


 その下に、分母が2で分子が1,2,3と増えていく列を作る。
1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、、……
1/2、2/2、3/2、4/2、5/2、、……


 同じことを果てしなく繰り返す
1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、、……
1/2、2/2、3/2、4/2、5/2、、……
1/3、2/3、3/3、4/3、5/3、、……
1/4、2/4、3/4、4/4、5/4、、……
1/5、2/5、3/5、4/5、5/5、、……


 
 こうすると、このリストにはあらゆる有理数が含まれる。そのリストから、例えば1と同じ2/2、3/3、といった数を除いていくと、漏れもだぶりも無い有理数のリストが出来る。
1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、、……
1/2、***、3/2、***、5/2、、……
1/3、2/3、***、4/3、5/3、、……
1/4、***、3/4、***、5/4、、……
1/5、2/5、3/5、4/5、***、、……


これと自然数(1,2,3、……)と組を作っていけばよい。しかし

「∞自」[1]-「∞有」[1/1]
「∞自」[2]-「∞有」[2/1]
「∞自」[3]-「∞有」[3/1]
「∞自」[4]-「∞有」[4/1]
「∞自」[5]-「∞有」[5/1]
 ・
 ・
 ・
と、「分母が1」の列と組み合わせてしまうと、ずっと「分母が1」の列としか比較できないのでマズい。そこでカントールは表の左上からジグザグに数字の組を作っていくことにした。具体的にはこうなる。


「∞自」[1]-「∞有」[1/1]
「∞自」[2]-「∞有」[2/1]
「∞自」[3]-「∞有」[1/2]
「∞自」[4]-「∞有」[1/3]
「∞自」[5]-「∞有」[3/1]
「∞自」[6]-「∞有」[4/1]
「∞自」[7]-「∞有」[3/2]
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 すると当然どちらも無限に存在するので「∞自」と「∞有」も同じ数だと解ったのである。



自然数と実数ではどちらが多い?

 カントールはさらに踏み込み、次は「実数」の個数について考察した。実数とは有理数無理数(分数で表せない数。ルート2とかπとか)を合わせたもの。そしてカントールは「実数は自然数よりはるかに多い」ことを発見した。

 まずカントールは「自然数と実数は一対一で対応できる」と仮定した。次にカントールは実数の一覧を作成した。※仮に以下のような物とする

1.1111…
2.2222…
3.3333…
4.4444…
5.5555…
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 それを自然数と一対一で組み合わせる。

自然数[1]-実数[1.1111…]
自然数[2]-実数[2.2222…]
自然数[3]-実数[3.3333…]
自然数[4]-実数[4.4444…]
自然数[5]-実数[5.5555…]
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 その次に、この実数リストに無い数を作ってみる。1番目の数字の1桁目をプラス1した数、2番目の数字の2桁目をプラス1した数、3番目の数字の3桁目をプラス1した数、という数を作ると、「2.3456…」という数が得られる。この数は最初の実数リストには存在しない。つまり仮定「自然数と実数は一対一で対応できる」は間違いだったことになる。「∞自」<「∞実」だったのである。無限に大小があるという驚くべき発見だった。


●その後のカントール

 カントールは、普通の無限「∞自」と 巨大な無限「∞実」の間に「中くらいの無限」は存在しない、という「連続体仮説」を提唱し研究を続けた。しかし保守的な数学界は無限について研究するカントールに反発、とくにカントールの大学の師匠レオポルト・クロネッカーは執拗にカントールの研究を妨害した。カントールは失意のうちにうつ病になり、1918年に亡くなった。

 のちに連続体仮説は「不完全性定理」から「正しいのか誤っているのか証明できない問題」であることが判明した。


感想

 今回も絶好調の内容。無限云々は以前に

感想:NHK番組「オックスフォード白熱教室【再放送】」第4回(最終回)「数学が教える“知の限界”」(2014年12月26日(金) 放送)
https://perry-r.hatenablog.com/entry/20141227/p2

perry-r.hatenablog.com

 
 で扱った内容を膨らませたもので、全く知らない内容では無かったのですが、それでも面白かったので大満足。この調子であと10回もあるなら今年の夏は楽しいことになりそうですよ。


おまけ

 今回の番組の内容と関連した内容がこちら。およそ同じことを書いてありますが、もちっと数学的に難しい言葉も使っています。
 ↓

無限を最短で紹介するよ | ギズモード・ジャパン
https://www.gizmodo.jp/2011/07/post_8960.html

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Newtonライト2.0 無限
Newtonライト2.0 無限 (ニュートンムック)

 
笑わない数学(NHKオンデマンド)
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